旋转矩阵与坐标变换
旋转矩阵
旋转方向正负的定义
在笛卡尔坐标系中,当我们讨论旋转方向时,首先需要判断所讨论坐标系是“右手系”还是“左手系”,右手系的方向遵循“右手定则”,左手系则遵循“左手定则”,其含义为:用右手或左手握住坐标轴,大拇指朝向轴的正半部分,此时其余四指自然握紧形成的方向即为绕该轴旋转的“正方向”。
数学与物理中描述角度或角速度时,在没有特别说明是“左手系”的情况下,默认使用的是“右手系”。
正方向在公式中的体现为:sin
或cos
括号内数值的符号。而括号外的符号则由右手系或左手系决定。
旋转矩阵的定义:
右手系,旋转角值沿右手螺旋方向为正(即逆时针为正)
绕\(Z\)轴转\(\alpha\) \[
R_z =
\begin{bmatrix}
cos(\alpha) &-sin(\alpha) &0 \\
sin(\alpha) &cos(\alpha) &0 \\
0 &0 &1
\end{bmatrix}
\]
绕\(Y\)轴转\(\beta\) \[
R_y =
\begin{bmatrix}
cos(\beta) &0 &sin(\beta) \\
0 &1 &0 \\
-sin(\beta) &0 &cos(\beta)
\end{bmatrix}
\]
绕\(X\)轴转\(\gamma\) \[
R_x =
\begin{bmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &cos(\gamma) &-sin(\gamma) \\
0 &sin(\gamma) &cos(\gamma)
\end{bmatrix}
\]